MATH 009B 积分复习 · 知识点与例题

5.1

不定积分与反导数

不定积分（反导数）：找一个函数 $F(x)$ ，使其导数等于给定的 $f(x)$ ，即 $F'(x)=f(x)$ 。结果必须加上积分常数 $C$ 。

函数 $f(x)$	不定积分 $\int f(x)\,dx$
$x^n$ （幂函数）	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ （幂次法则）
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$-\ln\|\cos x\| + C$
$\sec x$	$\ln\|\sec x+\tan x\| + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\| + C$
$e^x$	$e^x + C$

初值问题（IVP）：已知高阶导数（如

f''(x)

）与某点的初始条件，逐步积分反推原函数。步骤：积分

f''

得

f'

→ 用初始条件求

C_1

→ 再积分得

f

→ 求

C_2

。

例题（3）

例 2

二阶导数的初值问题

题目：已知

f''(x)=12x^2+2x+3

，

f'(1)=-3

，

f(1)=5

，求

f(x)

。

例 3

三角函数的初值问题

题目：已知

f''(x)=\sin x

，

f'(\pi)=2

，

f(\pi)=4

，求

f(x)

。

例 4

自由落体速度方程

题目：加速度

a(t)=-32\ \text{ft/s}^2

，已知

v(3)=-10\ \text{ft/s}

，求

v(t)

。

5.2

定积分

定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 表示函数在区间 $[a,b]$ 上带符号的“面积”，结果是一个数值。

位移（Displacement）：速度对时间的定积分 = 位置净变化量，有方向，正负抵消。
总路程（Total Distance）：速度绝对值的定积分 = 实际走过的全部路程，不抵消。

例题（1）

例 5

水平运动物体的位移

题目：物体先以

15\ \text{ft/s}

向正方向行进

10

秒，然后立刻以

5\ \text{ft/s}

反向行进，求

t=13

秒时的总位移。

5.3

黎曼和

黎曼和：用若干个矩形的面积之和近似曲线下面积，是定积分的数值估算方法。 $n$ 为矩形数量， $n$ 越大越精确。

左端点法：每个矩形高度取该子区间左端点的函数值。
右端点法：每个矩形高度取该子区间右端点的函数值。
步骤：等分区间为 $n$ 段，算宽度 $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ ，再求各矩形面积之和。

例题（3）

例 6

左端点黎曼和（ $n=4$ ，上半圆）

题目：

f(x)=\sqrt{4-(x-2)^2}

，

\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx

，

n=4

。

f(x)=√(4-(x-2)²)（上半圆）

向左右各延伸约 1.5 个单位以展示完整上半圆；阴影矩形为左端点近似（取左端点高度）。

例 7

右端点黎曼和（ $n=6$ ，上半圆）

题目：

f(x)=\sqrt{9-x^2}

，

\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\,dx

，

n=6

。

f(x)=√(9-x²)（半径3上半圆）

视窗向左右各延伸 1.5 单位以完整呈现半圆；矩形高度取右端点函数值。

例 8

左端点黎曼和（ $n=6$ ， $f(x)=x^2$ ）

题目：

f(x)=x^2

，

\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\,dx

，

n=6

。

f(x)=x²

抛物线向左右延伸至 ±4.5 以显示完整开口；矩形取左端点高度。

5.4

微积分基本定理（FTC）

FTC 第一部分：若

F(x)=\int_a^{g(x)} f(t)\,dt

，则

F'(x)=f(g(x))\cdot g'(x)

（配合链式法则，上��是

x

的函数时需乘其导数）。

FTC 第二部分：

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

，其中

F'=f

。这是计算定积分的标准方法。

曲线围成面积： $\int_a^b|\text{上方函数}-\text{下方函数}|\,dx$ 。需先找交点确定区间并判断上下关系。

例题（7）

例 9

FTC1 + 链式法则

题目：

\displaystyle F(x)=\int_2^{x^2} t^3\,dt

，求

F'(x)

。

例 10

FTC1（上限为 $\cos x$ ）

题目：

\displaystyle F(x)=\int_2^{\cos x} t^2\,dt

，求

F'(x)

。

例 11

交换上下限

题目：

\displaystyle F(x)=-\int_x^2 t^3\,dt

，求

F'(x)

。

例 12

上下限都是 $x$ 的函数

题目：

\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}(t^3+t)\,dt

，求

F'(x)

。

例 13

FTC2 计算定积分

题目：(a)

\displaystyle\int_1^3(3x^2-2x+1)\,dx

；(b)

\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi}(3x^2-2x+1)\,dx

。

例 14

两曲线围成面积（需分段）

题目：

y=-2x+5

与

y=x^3-7x^2+12x-3

围成的面积。

y=-2x+5（直线）y=x³-7x²+12x-3（曲线）

视窗扩展到 x∈[-0.5,5]、y∈[-5,8] 以显示曲线与直线三个交点处的完整起伏。两段阴影上下关系相反，需分段积分。

例 15

区间 $[-1,\tfrac12]$ 上的面积

题目：

y=x-2x^3

，

y=x^2

，区间

[-1,\tfrac12]

围成面积。

y=x-2x³y=x²

视窗扩到 x∈[-1.6,1.1] 以完整展示两曲线在交点 -1、0、½ 附近的形状；阴影分两段，上下关系在 x=0 处互换。

6.1

换元积分法（u-Substitution）

换元法是“链式法则的逆运算”。当被积函数里有“一个函数和它的导数同时出现”时，就可以把里面那一坨复杂的东西整体换成 $u$ ，让积分变简单。

第 1 步：选 $u$ 。通常选“最里层的函数”“根号/分母里的式子”或“括号里的式子”。
第 2 步：求 $du$ 。对 $u$ 求导得 $\dfrac{du}{dx}=g'(x)$ ，再写成 $du=g'(x)\,dx$ 。
第 3 步：解出 $dx$ 或凑微分。把原积分里的 $dx$ 和多余因子全部用 $u$ 、 $du$ 替换，确保式子里不再有 $x$ 。
第 4 步：对 $u$ 积分（此时应是基本积分表里的形式）。
第 5 步：把 $u=g(x)$ 换回去，写出关于 $x$ 的答案，别忘了 $+C$ 。

检验小技巧：换元后如果式子里还残留

x

（无法消掉），说明

u

选错了，换一个再试。

例题（4）

例 16

对数型换元（分母换元）

题目：

\displaystyle\int\frac{x^4}{x^5+1}\,dx

例 17

$\tan x\,\sec^2 x$ （导数对出现）

题目：

\displaystyle\int\tan(x)\sec^2(x)\,dx

例 18

线性内层换元（最常见类型）

题目：

\displaystyle\int\cos(5x+2)\,dx

例 19

$\sec x$ 的经典技巧（需要记忆）

题目：

\displaystyle\int\sec(x)\,dx

6.2

分部积分法（IBP）

公式：

\int u\,dv=uv-\int v\,du

。它来自乘积求导法则的逆运算。当被积函数是“两类不同函数相乘”（如多项式×指数、多项式×三角）时使用。

选 $u$ 用口诀 LIATE：对数(L) > 反三角(I) > 代数/多项式(A) > 三角(T) > 指数(E)。排在前面的优先选作 $u$ 。
为什么这样选？因为 $u$ 要被求导（希望它越求越简单，如 $x^2\to2x\to2$ ）， $dv$ 要被积分（希望它积分后不变复杂，如 $e^x$ 、 $\sin x$ ）。
操作：选定 $u$ 和 $dv$ 后，分别算出 $du$ （对 $u$ 求导）和 $v$ （对 $dv$ 积分），再套公式。
若一次后右边仍是乘积，就再用一次分部（如 $\int x^2\cos x\,dx$ ）；若转了一圈又出现原积分，则把它移到等号同侧解方程（如 $\int e^x\sin x\,dx$ ）。

例题（4）

例 20

$\int xe^x\,dx$ （最基础的分部）

题目：

\displaystyle\int xe^x\,dx

例 21

两次分部积分

题目：

\displaystyle\int x^2\cos(x)\,dx

例 22

循环分部积分（移项解方程）

题目：

\displaystyle\int e^x\sin(x)\,dx

例 23

换元 + 分部（综合）

题目：

\displaystyle\int\sin(\ln x)\,dx

6.3

三角积分

核心恒等式： $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ ，由它可推出 $\tan^2 x+1=\sec^2 x$ 。
半角（降次）公式： $\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ ， $\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ 。用于偶数次幂。
求导对照： $(\sin x)'=\cos x$ ， $(\cos x)'=-\sin x$ ， $(\tan x)'=\sec^2 x$ ， $(\sec x)'=\sec x\tan x$ 。换元时要靠它们配对。

判断方法：

\int\sin^m x\cos^n x\,dx

中，只要有一个幂是奇数，就从那个奇数幂里“借出一个因子”留给

du

，其余偶数次用

\sin^2+\cos^2=1

换成另一个函数，再换元。若两个幂都是偶数，则用半角公式降次。

例题（4）

例 24

$\sin^5 x\cos^2 x$ （ $\sin$ 为奇次）

题目：

\displaystyle\int\sin^5(x)\cos^2(x)\,dx

例 25

$\sin^2 x\cos^3 x$ （ $\cos$ 为奇次）

题目：

\displaystyle\int\sin^2(x)\cos^3(x)\,dx

例 26

$\sin^2 x$ （偶次 → 用半角降次）

题目：

\displaystyle\int\sin^2(x)\,dx

例 27

$\tan^3 x\sec x$

题目：

\displaystyle\int\tan^3(x)\sec(x)\,dx

6.4

三角代换

当被积函数里出现 $\sqrt{a^2-x^2}$ 、 $\sqrt{a^2+x^2}$ 、 $\sqrt{x^2-a^2}$ 这类根号时，普通换元行不通。技巧是把 $x$ 设成三角函数，利用 $\sin^2+\cos^2=1$ 或 $\tan^2+1=\sec^2$ 把根号“开方开干净”。

根式形式	代换	用到的恒等式	开方后
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin\theta$	$1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$	$a\cos\theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan\theta$	$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$	$a\sec\theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec\theta$	$\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$	$a\tan\theta$

最后一步“换回

x

”要画直角三角形：根据代换写出对边、邻边、斜边，再读出其它三角函数关于

x

的表达式。

例题（3）

例 28

$\sqrt{9-x^2}$ （ $a^2-x^2$ 型）

题目：

\displaystyle\int\sqrt{9-x^2}\,dx

y=√(9-x²)

被积函数 √(9-x²) 恰为半径3的上半圆；视窗向左右延伸至 ±4.5 完整呈现圆弧。结果含 arcsin 项即半圆面积公式。

例 29

$\dfrac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}$

题目：

\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}\,dx

例 30

$\sqrt{x^2+2}$ （ $a^2+x^2$ 型）

题目：

\displaystyle\int\sqrt{x^2+2}\,dx

6.5

部分分式分解（PFD）

适用：被积函数是“多项式除以多项式”的有理分式，且分母能因式分解。目标是把大分式拆成几个简单小分式之和，再逐个积分。
第 1 步：分母因式分解。第 2 步：按因子写出待定系数（每个一次因子配一个常数分子）。第 3 步：两边乘回分母，比较系数或代入特殊值求出常数。第 4 步：逐项积分（多为 $\ln$ ）。
重复因子 $(x+a)^2$ 要写两项： $\dfrac{B}{x+a}+\dfrac{C}{(x+a)^2}$ 。

求系数的“遮盖法”：把某因子设为 0 的

x

值代入，能让其它项消失，从而快速解出对应常数。

例题（4）

例 31

$\dfrac{1}{x^2-1}$ （两个不同一次因子）

题目：

\displaystyle\int\frac{1}{x^2-1}\,dx

例 32

重复因子 $(x+2)^2$

题目：

\displaystyle\int\frac{1}{x(x+2)^2}\,dx

例 33

$\dfrac{7x+2}{x^2+x-2}$ （分子非常数）

题目：

\displaystyle\int\frac{7x+2}{x^2+x-2}\,dx

例 34

$\dfrac{2x-1}{x^2+5x+4}$

题目：

\displaystyle\int\frac{2x-1}{x^2+5x+4}\,dx

6.6

双曲函数

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ ， $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 。
$\int\sinh x\,dx=\cosh x+C$ ， $\int\cosh x\,dx=\sinh x+C$ （无负号）。
含 $\sinh\cdot\cosh$ 乘积用换元（ $u=\cosh x$ ）；含 $x\sinh x$ 用分部积分。

例题（2）

例 35

换元（ $\sinh$ 与 $\cosh$ 配对）

题目：

\displaystyle\int\sinh(x)\cosh^6(x)\,dx

例 36

分部积分（ $x$ 乘双曲函数）

题目：

\displaystyle\int x\sinh(x)\,dx

6.8

反常积分

核心方法：用极限替换无穷上下限或间断点：

\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx

。极限有限则收敛，否则发散。

重要结论：

\int_1^\infty\frac{1}{x^p}\,dx

当

p>1

时收敛，

p\le1

时发散。务必先检查区间内是否有间断点！

例题（8）

例 37

收敛（arctan）

题目：

\displaystyle\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}\,dx

例 38

发散（ $1/x$ ）

题目：

\displaystyle\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx

例 39

收敛（ $1/x^2$ ）

题目：

\displaystyle\int_1^\infty\frac{1}{x^2}\,dx

例 40

下限为 $-\infty$

题目：

\displaystyle\int_{-\infty}^0 e^x\,dx

例 41

高斯型换元

题目：

\displaystyle\int_0^\infty xe^{-x^2}\,dx

例 42

内部间断点（陷阱）

题目：

\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\,dx

例 43

端点间断点

题目：

\displaystyle\int_0^1\frac{5x}{x^2-1}\,dx

例 44

收敛的无界被积函数

题目：

\displaystyle\int_0^5\frac{7}{\sqrt{x}}\,dx

7.2

圆盘法 / 垫圈法

圆盘法：截面为实心圆盘， $V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx$ 。
垫圈法：截面为空心圆环， $V=\pi\int_a^b([R(x)]^2-[r(x)]^2)\,dx$ 。
绕 $x$ 轴对 $x$ 积分；绕非坐标轴（如 $y=4$ ）需相应调整半径（如 $R=4-f(x)$ ）。

例题（7）

例 47

绕 $x$ 轴（圆盘法）

题目：绕

x

轴旋转

y=e^x

，

y=0

，

x=0

，

x=3

。

y=eˣ

视窗扩到 x∈[-0.8,3.8] 展示指数曲线完整增长；阴影区绕 x 轴旋转生成实心圆盘。

例 48

绕 $y=4$ （垫圈法）

题目：绕直线

y=4

旋转

y=x^2

与

y=4

。

y=x²y=4（旋转轴）

视窗 x∈[-3,3] 完整呈现抛物线与 y=4 的两个交点；阴影绕 y=4 旋转，半径 R=4-x²。

例 49

绕 $y$ 轴（壳法）

题目：绕

y

轴旋转

y=1/x

，

x\in[1,3]

。

y=1/x

视窗 x∈[-0.5,4] 展示 1/x 完整双曲走势；阴影绕 y 轴旋转，每个壳半径 x、高度 1/x。

例 50

$\sqrt x$ 与 $x$ 绕 $x$ 轴（垫圈）

题目：绕

x

轴旋转

y=\sqrt x

与

y=x

。

y=√xy=x

视窗 x∈[-0.4,1.6] 展示 √x 与 x 在 [0,1] 上的完整夹层区域；外径 √x、内径 x。

例 51

$\sqrt x$ ， $x$ 绕 $x=1$ （壳法）

题目：

y=\sqrt x

，

y=x

绕竖直轴

x=1

旋转。

例 52

$\sqrt x$ ， $x$ 绕 $y$ 轴（壳法）

题目：

y=\sqrt x

，

y=x

绕

y

轴旋转。

例 53

$\sqrt x$ ， $x$ 绕 $y=1$ （垫圈）

题目：

y=\sqrt x

，

y=x

绕

y=1

旋转。

7.3

壳法（圆柱壳法）

公式：

V=2\pi\int_a^b r(x)\cdot h(x)\,dx

，

r(x)

为壳到旋转轴的半径，

h(x)

为壳高度（函数值之差）。

选用时机：当用圆盘/垫圈法需对 $y$ 积分却不便反解时，改用壳法对 $x$ 积分更简便（反之亦然）。

例题（4）

例 54

绕 $y$ 轴（同例52）

题目：

y=\sqrt x

，

y=x

绕

y

轴旋转。

例 55

绕 $x=1$ （同例51）

题目：

y=\sqrt x

，

y=x

绕

x=1

旋转。

例 56

绕 $x$ 轴（对 $y$ 的壳法）

题目：

y=\sqrt x

，

y=x

绕

x

轴旋转。

例 57

绕 $y=1$ （壳法）

题目：

y=\sqrt x

，

y=x

绕

y=1

旋转。

7.4

弧长与旋转体表面积

弧长：

L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx

。

绕 $x$ 轴表面积： $S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$ 。
绕 $y$ 轴表面积： $S=2\pi\int_a^b x\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$ 。
注意：这里算的是表面积，不是体积，别混淆。

例题（3）

例 58

弧长

题目：

f(x)=\frac23(x-1)^{3/2}

，

x\in[1,3]

。

f(x)=⅔(x-1)^{3/2}

视窗 x∈[0.5,3.5] 展示曲线从 x=1 起完整上升；弧长测量该段曲线实际长度。

例 59

绕 $x$ 轴的表面积

题目：

f(x)=\sqrt{2x}

，

x\in[0,1]

。

f(x)=√(2x)

视窗 x∈[-0.4,1.6] 展示 √(2x) 完整曲线；该弧绕 x 轴旋转生成曲面，求其表面积。

例 60

绕 $y$ 轴的表面积

题目：

f(x)=1+4x^2

，

x\in[0,3]

。

f(x)=1+4x²

视窗 x∈[-3.5,3.5] 完整呈现抛物线开口；积分段 [0,3] 绕 y 轴旋转求表面积。

术语

中英文术语对照

English	中文	说明
Antiderivative	原函数 / 反导数	导数为 f(x) 的函数 F(x)
Indefinite Integral	不定积分	含积分常数 C 的积分结果
Definite Integral	定积分	有上下限的积分，结果为数值
IVP	初值问题	已知初始条件，求具体函数
Riemann Sum	黎曼和	用矩形面积近似积分
FTC	微积分基本定理	连接导数与积分的核心定理
u-Substitution	换元积分法	通过换元简化积分
IBP	分部积分法	∫u dv = uv - ∫v du
LIATE	分部选 u 口诀	对数>反三角>代数>三角>指数
Trig Substitution	三角代换	用三角函数消去根号
PFD	部分分式分解	将有理分式拆成简单分式
Hyperbolic Functions	双曲函数	sinh、cosh，由指数函数定义
Improper Integral	反常积分	上下限含无穷或被积函数无界
Convergence / Divergence	收敛 / 发散	积分值有限 / 无限
Disk / Washer Method	圆盘 / 垫圈法	截面积分求旋转体体积
Shell Method	壳法	薄圆柱壳积分求体积
Arc Length	弧长	曲线的实际长度
Surface of Revolution	旋转体表面积	曲线旋转一圈形成的曲面

不定积分与反导数

例题（3）

二阶导数的初值问题

三角函数的初值问题

自由落体速度方程

定积分

例题（1）

水平运动物体的位移

黎曼和

例题（3）

左端点黎曼和（n=4n=4n=4，上半圆）

右端点黎曼和（n=6n=6n=6，上半圆）

左端点黎曼和（n=6n=6n=6，f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2）

微积分基本定理（FTC）

例题（7）

FTC1 + 链式法则

FTC1（上限为 cos⁡x\cos xcosx）

交换上下限

上下限都是 xxx 的函数

FTC2 计算定积分

两曲线围成面积（需分段）

区间 [−1,12][-1,\tfrac12][−1,21​] 上的面积

换元积分法（u-Substitution）

例题（4）

对数型换元（分母换元）

tan⁡x sec⁡2x\tan x\,\sec^2 xtanxsec2x（导数对出现）

线性内层换元（最常见类型）

sec⁡x\sec xsecx 的经典技巧（需要记忆）

分部积分法（IBP）

例题（4）

∫xex dx\int xe^x\,dx∫xexdx（最基础的分部）

两次分部积分

循环分部积分（移项解方程）

换元 + 分部（综合）

三角积分

例题（4）

sin⁡5xcos⁡2x\sin^5 x\cos^2 xsin5xcos2x（sin⁡\sinsin 为奇次）

sin⁡2xcos⁡3x\sin^2 x\cos^3 xsin2xcos3x（cos⁡\coscos 为奇次）

sin⁡2x\sin^2 xsin2x（偶次 → 用半角降次）

tan⁡3xsec⁡x\tan^3 x\sec xtan3xsecx

三角代换

例题（3）

9−x2\sqrt{9-x^2}9−x2​（a2−x2a^2-x^2a2−x2 型）

x216−x2\dfrac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}16−x2​x2​

x2+2\sqrt{x^2+2}x2+2​（a2+x2a^2+x^2a2+x2 型）

部分分式分解（PFD）

例题（4）

1x2−1\dfrac{1}{x^2-1}x2−11​（两个不同一次因子）

重复因子 (x+2)2(x+2)^2(x+2)2

7x+2x2+x−2\dfrac{7x+2}{x^2+x-2}x2+x−27x+2​（分子非常数）

2x−1x2+5x+4\dfrac{2x-1}{x^2+5x+4}x2+5x+42x−1​

双曲函数

例题（2）

换元（sinh⁡\sinhsinh 与 cosh⁡\coshcosh 配对）

分部积分（xxx 乘双曲函数）

反常积分

例题（8）

收敛（arctan）

发散（1/x1/x1/x）

收敛（1/x21/x^21/x2）

下限为 −∞-\infty−∞

高斯型换元

内部间断点（陷阱）

端点间断点

收敛的无界被积函数

圆盘法 / 垫圈法

例题（7）

绕 xxx 轴（圆盘法）

绕 y=4y=4y=4（垫圈法）

绕 yyy 轴（壳法）

x\sqrt xx​ 与 xxx 绕 xxx 轴（垫圈）

x\sqrt xx​，xxx 绕 x=1x=1x=1（壳法）

x\sqrt xx​，xxx 绕 yyy 轴（壳法）

x\sqrt xx​，xxx 绕 y=1y=1y=1（垫圈）

壳法（圆柱壳法）

例题（4）

绕 yyy 轴（同例52）

绕 x=1x=1x=1（同例51）

绕 xxx 轴（对 yyy 的壳法）

绕 y=1y=1y=1（壳法）

左端点黎曼和（ $n=4$ ，上半圆）

右端点黎曼和（ $n=6$ ，上半圆）

左端点黎曼和（ $n=6$ ， $f(x)=x^2$ ）

FTC1（上限为 $\cos x$ ）

上下限都是 $x$ 的函数

区间 $[-1,\tfrac12]$ 上的面积

$\tan x\,\sec^2 x$ （导数对出现）

$\sec x$ 的经典技巧（需要记忆）

$\int xe^x\,dx$ （最基础的分部）

$\sin^5 x\cos^2 x$ （ $\sin$ 为奇次）

$\sin^2 x\cos^3 x$ （ $\cos$ 为奇次）

$\sin^2 x$ （偶次 → 用半角降次）

$\tan^3 x\sec x$

$\sqrt{9-x^2}$ （ $a^2-x^2$ 型）

$\dfrac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}$

$\sqrt{x^2+2}$ （ $a^2+x^2$ 型）

$\dfrac{1}{x^2-1}$ （两个不同一次因子）

重复因子 $(x+2)^2$

$\dfrac{7x+2}{x^2+x-2}$ （分子非常数）

$\dfrac{2x-1}{x^2+5x+4}$

换元（ $\sinh$ 与 $\cosh$ 配对）

分部积分（ $x$ 乘双曲函数）

发散（ $1/x$ ）

收敛（ $1/x^2$ ）

下限为 $-\infty$

绕 $x$ 轴（圆盘法）

绕 $y=4$ （垫圈法）

绕 $y$ 轴（壳法）

$\sqrt x$ 与 $x$ 绕 $x$ 轴（垫圈）

$\sqrt x$ ， $x$ 绕 $x=1$ （壳法）

$\sqrt x$ ， $x$ 绕 $y$ 轴（壳法）

$\sqrt x$ ， $x$ 绕 $y=1$ （垫圈）

绕 $y$ 轴（同例52）

绕 $x=1$ （同例51）

绕 $x$ 轴（对 $y$ 的壳法）

绕 $y=1$ （壳法）

绕 $x$ 轴的表面积

绕 $y$ 轴的表面积